BAB VI DISTRIBUSI NORMAL, T DAN F

BAB 6
DISTRIBUSI NORMAL, DISTRIBUSI T, DISTRIBUSI F

1.     Distribusi Normal

Distribusi normal menggunakan variabel acak kontinu. Distribusi normal sering disebut DISTRIBUSI GAUSS. Distribusi ini merupakan salah satu yang paling penting dan banyak digunakan. Distribusi ini menyerupai BENTUK LONCENG (BELL SHAPE) dengan nilai rata-rata X sebagai sumbu simetrisnya.

 

Variabel acak kontinu x mempunyai fungsi densitas pada X = x dinyatakn dengan persamaan : 

Dengan :

p = Nila konstan yang ditulis hingga 4 desimal p = 3,1316

e = Bilangan konstan, bila ditulis hingga 4 desimal, e = 2,7183

µ = Parameter, merupakan rata-rata untuk distribusi

σ = Parameter, merupakan simpangan baku untuk distibusi

Jika nilai x mempunyai btas nilai ⎼∞<x<∞, maka dikatakan bahwa variabel acak X berdistribusi normal.

Sifat-sifat penting dari distribusi Normal adalah :

·         Grafik selalu diatas sumbu-X (horisontal)

·         Bentuk simetris terhadap sumbu-Y pada X = µ

·         Mempunyai modus pada X = µ sebesar 0,3989/ σ

·         Grafik mendekati sumbu X pada X = µ-3 µ dan X = µ+3µ

·         Kurva normal digunakan sebagai acuan pengujian hipotesis jika ukuran sempel n≥30

·         Luas daerah yang dibatasi oleh smbu-X dan kurva normal sama dengan satu satuan luas

Untuk tiap pasang μ dan σ, sifat-sifat di atas selalu dipenuhi, hanya bentuk kurvanya saja yang berlainan. Jika σ makin besar, kurvanya makin rendah (platikurtik) dan untuk σ makin kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik).

u

untuk megubah Distribusi Normal Umum menjadi Distribusi Normal Baku di gunakan rumus :

 

Perubahan grafik dapat dilihat dalam gambar berikut :

 

Fenomena distribusi data normal :

• Kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-    rata, yaitu antara μ - σ dan μ + σ.

• Ada 95,45% dari kasus terletak dalam daerah dua simpangan baku sekitar rata-      rata, yaitu antara μ - 2σ dan μ + 2σ.

• Hampir 99,73% dari kasus ada dalam daerah tiga simpangan baku sekitar rata-       rata, yaitu antara μ - 3σ dan μ + 3σ.

Jenis bentuk kurva yang diakibatkan oleh perbedaan rentangan nilai dan simpangan baku ada tiga macam:

1. Leptokurtik, merupakan bentuk kurva normal yang meruncing tinggi karena perbedaan frekuensi pada skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.

2. Platykurtic, merupakan kurva normal yang mendatar rendah karena perbedaan frekuensi pada skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.

3. Normal, merupakan bentuk kurva normal yang biasa, artinya bentuknya merupakan bentuk antara leptokurtic dan platykurtic, karena penyebaran skor biasa dan tidak terjadi kejutan-kejutan yang berati.

 

 

 2. Distribusi T

Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya selain dari distribusi normal ialah DISTRIBUSI STUDENT ATAU DISTRIBUSI - t. Fungsi densitasnya adalah :

Berlaku untuk harga-harga t yang memenuhi ⎼∞<t<∞ K merupakan bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikian sehingga luas daerah di bawah kurva sama dengan satu unit.

Pada distribusi t ini terdapat bilangan (n-1) yang dinamakan derajat kebebasan, akan disingkat dengan dk.

Bentuk kurva-t identik dengan bentuk kurva normal, tetapi kurtosisnya ditentukan oleh besar kecilnya derajat kebebasan df. Untuk n ≥ 30 pola distribusi t mendekati pola distribusi normal.

 

Dalam tabel distribusi-t kolom paling kiri berisikan derajat kebebasan (dk), baris teratas berisikan nilai peluang.

Gambar dibawah ini merupakan grafik distribusi-t dengan dk = ( n – 1 ). Luas bagian yang diarsir = p dan dibatasi paling kanan oleh tp. Harga tp inilah yang dicari dari daftar untuk pasangan dk dan p yang diberikan.

 

3. Distribusi F

Merupakan  distribusi variabel acak Kontinu. Fungsi densitasnya mempunyai persamaan :

Dimana :

F = Variabel acak yang memenuhi F>0

K = bilanan tetap yang harganya pada derajat kebebasan v₁ dan v₂

V₁  = Derajat kebebasan antara varians rata-rata sampel (sebagai pembilang)

V₂ = derajat kebebasan dalam keseluruhan sampel (sebagai penyebut)

Luas dibawah kurva satu.

Daftar distribusi normal berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan

derajat kekebasan v1 dan v2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang

diarsir, sedangkan derajat kekebasan pembilang (v1 ) ada pada baris paling atas dan

derajat kebebasan penyebut (v2) pada kolom paling kiri.

 

Notasi lengkap untuk nilai-nilai F dari daftar distribusi F dengan peluang p dan dk = (v1,v2) adalah Fp(v1,v2). Demikianlah untuk contoh kita didapat :

F_0.05(24,8) = 3.12 dan F_0,01(24,8 )= 5.28.

Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang p = 0.05 dan p = 0.01, tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95. Untuk ini digunakan hubungan :

 

Dalam rumus diatas perhatikan antara p dan (1- p) dan pertukaran antara derajat kebebasan (v_1, v₂ ) menjadi (v₂, v₁).